Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки  и  равны.

В параллелограмме  проведены высоты  и  . Докажите, что 

В параллелограммеABCDточкаE— середина стороныAB. Известно, чтоEC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

В параллелограммеАВСDточкиE, F, KиМлежат на его сторонах, как показано на рисунке, причёмАЕ = CK, BF = DM. Докажите, чтоEFKM— параллелограмм.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Биссектрисы угловCиDтрапецииABCDпересекаются в точкеP, лежащей на сторонеAB. Докажите, что точкаPравноудалена от прямыхBC,CDиAD.

СторонаBCпараллелограммаABCDвдвое больше стороныCD. ТочкаL— середина стороныBC. Докажите, чтоDL— биссектриса углаCDA.

  В параллелограммеАВСDпроведены перпендикулярыВЕиDFк диагоналиАС(см. рисунок). Докажите, чтоВFDЕ— параллелограмм.

В остроугольном треугольнике  проведены высоты  и  . Докажите, что углы  и 

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Известно, что около четырёхугольникаABCDможно описать окружность и что продолжения сторонADиBCчетырёхугольника пересекаются в точкеK. Докажите, что треугольникиKABиKCDподобны.

Окружность касается стороныABтреугольникаABC, у которого ∠C= 90°, и продолжений его сторонACиBCза точкиAиBсоответственно. Докажите, что периметр треугольникаABCравен диаметру этой окружности.

В остроугольном треугольникеABCуголBравен 60°. Докажите, что точкиA,C, центр описанной окружности треугольникаABCи точка пересечения высот треугольникаABCлежат на одной окружности.

В треугольнике  угол  равен 36°,  — биссектриса. Докажите, что треугольник 

Докажите, что у равных треугольников  и  биссектрисы, проведённые из вершины  и 

Два равных прямоугольника имеют общую вершину  (см. рис.). Докажите, что площади треугольников  и 

Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки  и  равны.

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

На медиане  треугольника  отмечена точка  . Докажите, что если 

На стороне  треугольника  отмечены точки  и  так, что 

  В равностороннем треугольникеABCточкиM, N, K— середины сторонАВ, ВС, САсоответственно. Докажите, что треугольникMNK— равносторонний.

Окружности с центрами в точкахEиFпересекаются в точкахCиD, причём точкиEиFлежат по одну сторону от прямойCD. Докажите, чтоCD⊥EF.

В выпуклом четырёхугольникеABCDуглыABDиACDравны. Докажите, что углыDACиDBCтакже равны.

В треугольникеABCс тупым угломACBпроведены высотыAA₁иBB₁. Докажите, что треугольникиA₁CB₁иACBподобны.

ВысотыAA₁иBB₁остроугольного треугольникаABCпересекаются в точкеE. Докажите, что углыAA₁B₁иABB₁равны.

  На сторонеАСтреугольникаАВСвыбраны точкиDиEтак, что отрезкиADиCEравны (см. рисунок). Оказалось, что отрезкиBDиBEтоже равны. Докажите, что треугольникАВС— равнобедренный.

  Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

  Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

  Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.

  Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

  Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.