Из вершины прямого углаCтреугольникаABCпроведена высотаCP. Радиус окружности, вписанной в треугольникBCP, равен 8, тангенс углаBACравен  . Найдите радиус вписанной окружности треугольникаABC.

Решение.

УголBACравен углуBCPтак как  и  . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем:  Тогда  а гипотенуза  по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Таким образом,  а  Так как  то  а  по теореме Пифагора.

В треугольнике  площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:   

Ответ: